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五次方程  

2007-07-24 13:52:28|  分类: 数学世界 |  标签: |举报 |字号 订阅

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五次方程是一種數學多項式方程。其最高的次数是五,作個例子:

x5 - 4x4 + 2x3 - 3x + 7 = 0

在已知係數的情形下,找多項式的解—代入後可使方程式等號兩邊相等的x—一直是個重要的數學問題。一次方程二次方程很快就找到公式解,過一陣子之後三次方程四次方程也有了解答,但沒有人知道五次方程是否有公式解,相形之下,五次方程顯得格外的困難。

後來,Paolo Ruffini尼爾斯·阿貝爾 (Niels Abel?) 證明了一般的五次方程,沒有可由 +, -, ×, ÷ 及根號組合而成的公式解,一般常常認為,一般的五次方程沒有公式解存在,這是不正確的。利用一些超越函數,如 theta functionDedekind eta function 即可找到五次方程的公式解。另外,若我們只需要求得數值解,可以利用數值方法(如牛頓法)得到相當理想的解答。

證明一般四次以上的方程式無根式解的人是埃瓦裡斯特·伽羅瓦 (Évariste Galois),他巧妙的用群論來處理上述的問題。

编辑] 布靈·杰拉德正規式

若有一五次方程式如下

x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 = 0

則可以藉由以下的轉換

y = x4 + b1x3 + b2x2 + b3x + b4

得到一個y的五次多項式,上述的轉換稱為契爾恩豪森轉換(Tschirnhaus transformation),藉由特別選擇的係數bi,可以使y4, y3, y2 的係數為0,得到以下的方程式:

y5 + px + q

以上的化簡是由布靈(Erland Samuel Bring)所發現,後來杰拉德(George Birch Jerrard|Jerrard)也獨立發現此化簡方法,因此上式稱為布靈·杰拉德正規式(Bring-Jerrard normal form)。

一開始先用 x 替換 x - a1/5 ,可以消去四次方項。接下來利用契爾恩豪森想到的方式,令y = x2 + px + q 而且找出適當的 p, q 值,使轉換後的x4 及 x3 項係數均為零。滿足上述條件的 p, q 值如下:

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可使下式轉換後,的x4 及 x3 項係數均為零:

x5 + cx3 + dx2 + ex + f

接下來可以用以下的替換式:

y = x4 + b1x3 + b2x2 + b3x + b4

代入下式:

x5 + dx2 + ex + f

使x2 項係數也為零。計算替換式的係數時,不需求解三次以上的方程式。只需要求b1, b2 及 b4 的平方根,和 b3 的立方根。若用像是MapleMathematica的電腦輔助軟體,可以輕易地計算出通式。

若以函數的觀點來看,以下方程式的解

x5 + ux + v = 0

有二個自變數 uv。不過可以再化簡方程式,使方程式解是單一自變數的函數。若令

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則方程式可以化簡為以下的形式:

x5 - 5x - 4t = 0

方程式的解 x 是單一變數 t 的函數。

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B

 

 

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